Родился Анатолий Капчинский в Саратове 6 июня 1912 года. Отец был бывшим моряком, очень дружившим со спортом. И в сыне с детства воспитывал упорство, трудолюбие и выдержку. Подростком Анатолий занялся классической борьбой, позже – плаванием и парусным спортом. Стал одним из лучших яхтсменов Саратова. Спорт совмещал с учёбой в Институте инженеров железнодорожного транспорта.

В 19 лет Капчинский вдруг увлёкся скоростным бегом на коньках. Это было тем более удивительно, что настоящие коньки стоили очень дорого, а квалифицированных тренеров по этому виду спорта и стандартных конькобежных катков в Саратове не было.

Коньки Анатолий изготовил сам. А технику бега изучал по книгам. Тренироваться начал самостоятельно на природных катках. Затем на стадионе «Машиностроитель» начали заливать хоть не стандартную, но всё же дорожку длиной около 300 метров и появился тренер.

Результаты Капчинского стали улучшаться, и вскоре он стал лучшим в городе и области. А ещё Анатолию посчастливилось познакомиться с приезжавшим в Саратов Константином Кудрявцевым – сильнейшим конькобежцем страны. Который поделился с юным дарованием секретами мастерства и посоветовал остановиться в беге на спринтерские дистанции.

На первом для себя чемпионате СССР в 1934 году Капчинский занял только 37 место. Но внимание на него обратили. А ещё через год парень выиграл забег на 500 метров, опередив великого чемпиона Якова Мельникова на 0,3 секунды. Многоборье он тогда не выиграл, но заявил о себе как о сильнейшем спринтере.

В 1936 году впервые на чемпионатах СССР были разыграны комплекты наград на отдельных дистанциях. 500 метров опять выиграл саратовец, став, наконец, чемпионом страны.

В 1938 году Анатолий Капчинский установил рекорд СССР, продержавшийся 13 лет. В Кирове он пробежал 1500 метров за 2 мин. 20,6 сек. Достижение было побито только в 1951 году, причём на высокогорном катке в Медео.

Спортивная карьера Анатолия вскоре могла закончиться из-за тяжелой ангины с осложнением на почки. Врачи запретили ему заниматься спортом, тем более зимним. Но Капчинский после выздоровления стал упорно тренироваться и в начале 1941 года победил на первенстве Москвы на дистанции 5000 метров. Спустя некоторое время стал первым обладателем приза Верховного Совета СССР. А в марте 1941 года улучшил рекорд страны в беге на 1000 метров, который держался до этого пять лет. Со временем пали бы и другие рекорды. Но началась война.

Капчинского на фронт не брали. Он был инженером-железнодорожником, нужным в тылу. Тогда вместе с другими друзьями-спортсменами он вступил в Отдельную мотострелковую бригаду особого назначения НКВД, в которой готовили бойцов для проведения диверсий в тылу противника. В эту же бригаду приняли известных спортсменов того времени: Константина Кудрявцева, Любовь Кулакову, Георгия Мазурова, Николая Королева. Анатолия назначили командиром отделения.

Бригаду отправили на обучение в Подмосковье. Спортсменов учили приёмам рукопашного боя, длительным лыжным и пешим переходам, ориентированию на местности, стрельбе из любого советского и трофейного оружия. Подготовка была основательной, поэтому заняла много времени. Анатолий Капчинский был переброшен со специальным отрядом «Победители» за линию фронта в мае 1942 года.

Ночью 28 июня на первом же задании Капчинский в составе небольшой группы попал в неравный бой. Отбиваться пришлось от немцев и полицаев численностью около 200 человек. Анатолий Константинович отстреливался до последнего и был сражён автоматными очередями. Его похоронили в лесу под Ровно.

Указом от 16 июня 1944 года Капчинского А.К. за проявленный героизм посмертно наградили орденом Отечественной войны I степени.